¿Se puede medir el infinito?

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El Teorema de los Infinitos Monos se vio una demostración práctica de que infinito no es una cantidad muy grande, sino que infinito es infinito, y por ello muchas veces no podemos tratarlo como una cantidad ‘normal’. Por eso mismo, tiene propiedades muy interesantes, y que a veces desafían nuestros razonamientos lógicos.

Por ejemplo, aunque infinito sea mayor que cualquier cantidad “real” imaginable, resulta que hay infinitos más grandes que otros. Y sin embargo, esa no es la propiedad más sorprendente de los infinitos. Desde la antigüedad clásica, se asume que la parte no puede ser tan grande como el todo como un dogma filosófico. Pues la teoría de los infinitos demuestra que no.

El responsable de estas chocantes conclusiones es el matemático alemán (aunque nacido en Rusia) Georg Cantor. Los resultados que obtuvo atentaban de tal forma a las convenciones que fue tachado de loco por sus coetáneos. No sólo eso, sino que además comenzó a sufrir crisis nerviosas y episodios de demencia cada vez que se daba cuenta de que su mente rechazaba sus propios descubrimientos. Tanto es así que falleció en la pobreza en un psiquiátrico.

Infinitos enumerables

Pero entremos más a fondo en las teorías de Cantor. Empecemos analizando la relación entre los números naturales (0,1,2,3,...) y los enteros (que incluyen también los negativos). Pues bien, según la teoría de Cantor, si podemos establecer una relación “uno a uno” entre dos conjuntos, se deduce que ambos conjuntos tienen la misma cantidad de elementos (conclusión lógica, por otra parte). En el caso de los naturales y los enteros, es muy fácil: A los números naturales de forma 2·k les asignamos los enteros de forma -k, y a los naturales 2·k + 1, los enteros k.

Pues de esta forma podemos establecer una relación uno a uno entre naturales y enteros. En las siguientes parejas, el primer elemento es el natural, y el segundo, su entero asociado: (0,0), (1,1), (2,-1), (3,2), (4,-2), (5,3), etc. Se ve fácilmente que así asociaríamos todos los enteros a los naturales. Por tanto, hay tantos naturales como enteros, a pesar de que intuitivamente pensaríamos que hay el doble de enteros que de naturales. A esta cantidad infinita, Cantor la llamó ℵ0 (aleph sub cero).

Más sorprendente resulta saber que la cantidad de números racionales (es decir, todas las fracciones) también es ℵ0. Aquí, el órdago a la intuición es brutal. ¡Si solamente entre 0 y 1 ya hay infinitos racionales! ¿Cómo es posible que el número total de racionales sea igual que el de naturales? El razonamiento es más complejo (es más fácil de ver en un gráfico, como ya se publicó aquí en Genciencia), pero es igualmente válido En referencia a este hecho, Cantor escribió a otro matemático “lo veo, pero no lo creo“.

Estos resultados a priori tan extraños tienen cierto sentido si tenemos en cuenta que el infinito cumple que ∞+1 = ∞, y por tanto, ∞+1 = (∞+1)+1 = (∞+1+1)+1, y así, ad infinitum (nunca mejor dicho). Esto se ve fácilmente en la famosa paradoja del hotel de Hilbert. Sin embargo, es cierto que existen infinitos más grandes que otros. En este caso, el símbolo ∞ pierde su significado, necesitamos una notación que indique las diferencias entre distintos infinitos (de ahí el uso del símbolo ℵ).

A los conjuntos que tienen ℵ0 elementos (es decir, cuya cardinalidad es ℵ0) se les denomina enumerables. En la próxima entrega veremos que hay conjuntos cuyos elementos no sólo son infinitos, sino que además no se pueden poner en correspondencia con los números naturales. Hay infinitos que son más grandes que otros, pero no sólo eso, sino que son infinitamente más grandes.